Menentukan Nilai Ketidakpastian pada Pengukuran Berulang Beserta Contoh Soalnya

Pengukuran merupakan suatu aktivitas mendasar dalam sains dan teknologi yang bertujuan untuk mendapatkan informasi kuantitatif dari suatu objek atau fenomena.

Dalam setiap kegiatan pengukuran, terutama dalam bidang fisika, selalu ada peluang terjadinya kesalahan dan ketidakpastian. Kesalahan ini bisa disebabkan oleh berbagai faktor seperti alat ukur, kondisi lingkungan, atau bahkan human error.

Untuk meminimalkan kesalahan tersebut, pengukuran sering kali dilakukan secara berulang.

Jenis-jenis Pengukuran dan Ketidakpastiannya

Pengukuran dalam fisika dapat dibagi menjadi dua kategori utama: pengukuran tunggal dan pengukuran berulang.

Pengukuran tunggal adalah pengukuran yang dilakukan hanya sekali dan hasilnya digunakan secara langsung. Sebaliknya, pengukuran berulang dilakukan beberapa kali untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat.

Pengukuran Tunggal

Pengukuran tunggal biasanya digunakan ketika kondisi lingkungan dan alat ukur dianggap stabil. Misalnya, ketika mengukur panjang suatu objek dengan penggaris, kita hanya perlu mengukur satu kali saja.

Ketidakpastian pada pengukuran tunggal dinyatakan sebagai setengah dari skala terkecil alat ukur yang digunakan.

Misalnya, jika skala terkecil pada sebuah penggaris adalah 1 mm, maka ketidakpastiannya adalah 0,5 mm.

Pengukuran Berulang

Dibandingkan dengan pengukuran tunggal, pengukuran berulang memberikan hasil yang lebih andal karena mengakomodasi variasi yang mungkin terjadi antar pengukuran.

Misalnya, ketika mengukur waktu jatuhnya sebuah benda dari ketinggian tertentu, kita mungkin mendapatkan hasil yang berbeda setiap kali kita melakukan pengukuran.

Dengan mengulang pengukuran beberapa kali, kita dapat menghitung rata-rata hasil pengukuran dan menentukan simpangan bakunya untuk mendapatkan ketidakpastian pengukuran.

Faktor Penyebab Ketidakpastian dalam Pengukuran

Ketidakpastian dalam pengukuran dapat muncul dari berbagai penyebab. Secara umum, penyebab ketidakpastian ini dapat digolongkan menjadi kesalahan umum, kesalahan sistematis, dan kesalahan acak.

Kesalahan Umum

Kesalahan umum biasanya disebabkan oleh kekeliruan atau kelalaian dari pengamat.

Contohnya adalah kesalahan dalam membaca skala alat ukur akibat posisi mata yang salah. Selain itu, keterampilan pengamat dalam menggunakan alat juga dapat memengaruhi hasil pengukuran.

Seorang pengamat yang kurang terampil mungkin melakukan kesalahan saat membaca skala atau salah mengkalibrasi alat ukur, yang berujung pada hasil pengukuran yang tidak akurat.

Kesalahan Sistematis

Kesalahan sistematis disebabkan oleh cacat atau kekurangan pada alat ukur. Misalnya, penggaris yang sudah melengkung atau timbangan yang titik nol-nya telah bergeser.

Kesalahan kalibrasi juga termasuk dalam kategori ini, yakni ketika alat ukur tidak disetel dengan benar sesuai standar. Kesalahan sistematis ini cenderung konsisten dan dapat mempengaruhi seluruh rangkaian pengukuran dengan cara yang sama, sehingga penting untuk mengidentifikasi dan memperbaikinya.

Kesalahan Acak

Kesalahan acak disebabkan oleh faktor lingkungan yang tidak bisa dikendalikan, seperti fluktuasi suhu, gerak Brown molekul udara, atau kebisingan elektronik.

Kesalahan ini bersifat acak dan dapat menyebabkan hasil pengukuran bervariasi setiap kali pengukuran dilakukan. Faktor-faktor ini sulit untuk dihilangkan sepenuhnya tetapi dapat diminimalkan dengan melakukan pengukuran berulang.

Menghitung Ketidakpastian pada Pengukuran Berulang

Dalam konteks pengukuran berulang, ketidakpastian pengukuran biasanya dinyatakan dalam bentuk simpangan baku.

Simpangan baku memberikan gambaran tentang seberapa jauh data pengukuran menyimpang dari rata-rata. Rumus yang digunakan untuk menghitung simpangan baku adalah sebagai berikut:

$$ s_y = \sqrt{\frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{N-1}} $$

Dimana:

• \(N\) adalah jumlah pengukuran
• \(x_i\) adalah nilai hasil pengukuran ke-i
• \(\bar{x}\) adalah nilai rata-rata dari semua hasil pengukuran

Langkah-langkah untuk menghitung ketidakpastian pada pengukuran berulang adalah:

1. Lakukan Pengukuran: Lakukan pengukuran sebanyak \(N\) kali dan catat hasilnya.
2. Hitung Nilai Rata-rata (\(\bar{x}\)): Jumlahkan semua hasil pengukuran lalu bagi dengan jumlah pengukuran (\(N\)).
3. Kurangi Setiap Hasil Pengukuran dengan Rata-rata: Kurangkan setiap hasil pengukuran (\(x_i\)) dengan nilai rata-rata (\(\bar{x}\)) untuk mendapatkan selisih.
4. Kuadratkan Setiap Selisih: Kuadratkan setiap selisih yang didapat.
5. Jumlahkan Semua Kuadrat Selisih: Jumlahkan hasil kuadrat selisih tersebut.
6. Bagi dengan \(N-1\) dan Ambil Akar Kuadrat: Bagi jumlah kuadrat selisih dengan \(N-1\) dan ambil akar kuadrat dari hasil pembagian tersebut.

Contoh Penghitungan Ketidakpastian Pengukuran Berulang

Misalkan kita memiliki lima nilai pengukuran panjang sebuah objek sebagai berikut: 10,1 cm, 10,2 cm, 10,3 cm, 10,2 cm, dan 10,1 cm. Langkah pertama adalah menghitung rata-rata dari nilai pengukuran ini:

$$\bar{x} = \frac{10.1 + 10.2 + 10.3 + 10.2 + 10.1}{5} = 10.18 \text{ cm}$$

Langkah berikutnya adalah menghitung selisih antara setiap nilai pengukuran dengan rata-ratanya:

$$\begin{align} (10.1 – 10.18)^2 & = 0.0064 \ (10.2 – 10.18)^2 & = 0.0004 \ (10.3 – 10.18)^2 & = 0.0144 \ (10.2 – 10.18)^2 & = 0.0004 \ (10.1 – 10.18)^2 & = 0.0064 \ \end{align}$$

Selanjutnya, kita jumlahkan semua kuadrat selisih ini:

$$ \sum (x_i – \bar{x})^2 = 0.0064 + 0.0004 + 0.0144 + 0.0004 + 0.0064 = 0.028 $$

Setelah itu, bagi hasil penjumlahan kuadrat selisih dengan \(N-1\):

$$ \frac{0.028}{5-1} = \frac{0.028}{4} = 0.007 $$

Terakhir, ambil akar kuadrat dari hasil yang didapat untuk mendapatkan simpangan baku:

$$ s_y = \sqrt{0.007} \approx 0.084 \text{ cm} $$

Dengan demikian, ketidakpastian pengukuran dari data tersebut adalah sekitar 0.084 cm.

Ketelitian dan Ketidakpastian Relatif

Ketelitian suatu alat ukur merujuk pada seberapa dekat nilai pengukuran dengan nilai sebenarnya. Ketidakpastian relatif, di sisi lain, digunakan untuk mengukur tingkat ketelitian suatu pengukuran dengan membandingkan ketidakpastian absolut terhadap nilai rata-rata pengukuran, dinyatakan dalam persentase:

$$ Ketidakpastian Relatif = \frac{\Delta x}{\bar{x}} \times 100\% $$

Jumlah angka desimal atau signifikan yang digunakan dalam hasil pengukuran bergantung pada nilai ketidakpastian relatif. Berikut adalah aturan penulisannya:

• Jika ketidakpastian relatif sebesar 0,1%, hasil pengukuran ditulis dengan 4 angka signifikan.
• Jika ketidakpastian relatif sebesar 1%, hasil pengukuran ditulis dengan 3 angka signifikan.
• Jika ketidakpastian relatif sebesar 10%, hasil pengukuran ditulis dengan 2 angka signifikan.

Contoh Soal dan Pembahasan

Untuk memperjelas konsep yang telah dibahas, berikut adalah beberapa contoh soal dan pembahasannya.

Soal 1: Sebuah objek diukur panjangnya secara berulang sebanyak lima kali dengan hasil sebagai berikut: 10,1 cm, 10,2 cm, 10,3 cm, 10,2 cm, dan 10,1 cm. Tentukan nilai rata-rata dan simpangan baku dari hasil pengukuran.

Pembahasan:

1. Hitung nilai rata-rata (\(\bar{x}\)):
   $$\bar{x} = \frac{10.1 + 10.2 + 10.3 + 10.2 + 10.1}{5} = 10.18 \text{ cm}$$
2. Hitung simpangan baku ($s_y$):
   $$ s_y = \sqrt{\frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{N-1}} $$
   Dengan mengurangi setiap nilai dengan rata-rata, menguadratkan hasilnya, menjumlahkannya, kemudian membaginya dengan \(N-1\), dan mengambil akar kuadrat, ditemukan bahwa \(s_y \approx 0.084\text{ cm}\).

Soal 2: Dari data pengukuran yang diberikan pada Soal 1, hitung ketidakpastian relatif dan tentukan jumlah angka signifikan yang harus digunakan pada hasil pengukuran.

Pembahasan:

1. Ketidakpastian relatif:
   $$ Ketidakpastian Relatif = \frac{\Delta x}{\bar{x}} \times 100\% = \frac{0.084}{10.18} \times 100\% \approx 0.825\% $$
2. Sesuai aturan, hasil pengukuran ditulis dengan 3 angka signifikan karena ketidakpastian relatif berada di sekitar 1%. Jadi, hasilnya ditulis sebagai:
   $$ (10.18 \pm 0.08) \text{ cm} $$

Soal 3: Sebuah objek diukur waktu jatuhnya dari ketinggian tertentu sebanyak lima kali dengan hasil: 0,85 s, 0,72 s, 0,79 s, 0,52 s, 0,72 s. Tentukan nilai rata-rata dan simpangan baku dari hasil pengukuran.

Pembahasan:

1. Hitung nilai rata-rata (\(\bar{x}\)):
   $$\bar{x} = \frac{0.85 + 0.72 + 0.79 + 0.52 + 0.72}{5} = 0.72 \text{ s}$$
2. Hitung simpangan baku (\(s_y\)):
   $$s_y = \sqrt{\frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{N-1}}$$
   Dengan perhitungan manual atau menggunakan kalkulator, ditemukan bahwa \(s_y \approx 0.11\text{ s}\).

Soal 4: Kelajuan lari seekor kelinci diukur secara berulang sebanyak lima kali dengan hasil: 6,4 m/s; 6,5 m/s; 5,5 m/s; 6,6 m/s; 4,5 m/s. Hasil pengukuran kecepatan kelinci tersebut bila memperhitungkan ketidakpastian adalah sebesar…

Pembahasan:

1. Hitung nilai rata-rata (\(\bar{v}\)):
   $$\bar{v} = \frac{\sum v_i}{N} = \frac{6.4 + 6.5 + 5.5 + 6.6 + 4.5}{5} = 5.9 \text{ m/s}$$
2. Hitung simpangan baku (\(s_y\)):
   $$ s_y = \sqrt{\frac{\sum (v_i – \bar{v})^2}{N-1}}$$
   Dengan perhitungan manual atau menggunakan kalkulator, ditemukan bahwa \(s_y \approx 0.81\) m/s.

Sehingga hasil pengukuran kelajuan kelinci adalah \( (5.9 \pm 0.8) \text{ m/s} \).

Kesimpulan

Pengukuran adalah bagian yang tak terpisahkan dari sains dan teknologi. Dengan memahami ketidakpastian dalam pengukuran, baik tunggal maupun berulang, kita dapat menghasilkan data yang lebih akurat dan dapat diandalkan.

Pengukuran berulang memungkinkan kita untuk mendapatkan gambaran yang lebih baik tentang besaran yang diukur dan mengurangi pengaruh dari kesalahan acak. Penggunaan standar deviasi dan ketidakpastian relatif membantu kita memahami seberapa tepat hasil pengukuran yang kita dapatkan.